Види переміщень. Диференціальне рівняння пружної лінії балки

При плоскому вигині балки її пружна лінія, що лежить в площині дії зовнішніх сил, викривляється, точки цієї лінії отримують деякі переміщення.

Довільно обрана точка С переміщається як в напрямку, перпендикулярному АВ, так і вздовж цієї лінії на величину . Найбільший практичний інтерес представляє переміщення , Яке називається прогином балки. Кут між напрямками 1-1 і 2-2 називається кутом повороту перерізу балки. Таким чином, переміщення бувають лінійні і кутові.

Поряд з розрахунком балки на міцність необхідно проводити і розрахунок на жорсткість, тобто визначати прогини і кути повороту балки. Існує кілька способів вирішення завдання про деформації балок. Розглянемо аналітичний спосіб. Встановимо залежність координати - рівняння пружної лінії.

З малюнка видно, що Але! У пружною стадії роботи матеріалу кути повороту настільки малі, що можна вважати кут рівним його тангенсу. Згадавши геометричний зміст похідної, можна прийняти кут повороту рівним першої похідної прогину по абсциссе перетину.

Правила знаків для переміщень, знаки переміщень

Кут вважається позитивним, якщо перетин повертається проти годинникової стрілки і навпаки. Прогин вважають позитивним відповідно до прийнятого напрямку осей координат. Якщо вісь координат направлена ​​вгору, то позитивним буде прогин вгору, а негативним - вниз.

Для знаходження залежності y = f (z) використовуємо відоме співвідношення між кривизною осі з изгибающим моментом і жорсткістю перерізу балки

При постійних моменті, кривизни і жорсткості балка згинається по колу.

З математики відомо, що кривизна кривої може бути виражена так:

нехтуючи отримаємо наближене диференціальне рівняння зігнутої осі балки:

або

При наближеному диференціальному рівнянні зігнутої осі балки користуються принципом малості переміщень, а якщо переміщення дуже великі, то використовують точне диференціальне рівняння. У техніці допускається величина прогину , де - довжина прольоту балки. рівняння являє собою лінійне диференціальне рівняння другого порядку із перемінними і може бути проінтегрувати в загальному вигляді:

де v- лінійне переміщення (прогин), θ - кутовий переміщення, С1 і С2 - постійні інтегрування.

С1 - кут повороту на початку координат, помноженої на величину ЕI;

С2 - прогин балки на початку координат, помножений на EI.

Значення цих постійних визначають з граничних умов, тобто. умов обпирання балки і умов на кордонах суміжних ділянок. Ось ці умови:

- у вільно лежить балки прогини на обох опорах дорівнюють нулю. При симетричному навантаженні у такий балки кут повороту в середині прольоту також дорівнює нулю;

- у консольної балки в закладенні і прогин і кут повороту дорівнюють нулю;

- н а кордоні суміжних ділянок балки прогин і кут повороту однакові як для лівого, так і для правої ділянки.

Визначення переміщень по методу початкових параметрів (або по універсальних формул прогинів і кутів повороту перерізів)

де у0 і φ0 - початкові параметри, тобто прогин і кут повороту на початку координат, які визначаються з умов закріплення балки:

Порядок визначення переміщень по універсальних формул:

1. Визначити всі опорні реакції.
2. Помістити початок координат обов'язково в крайнє перетин балки (ліве або праве).
3. Ось у направити вгору, вісь z - уздовж балки.
4. Знайти початкові параметри з умов закріплення балки (можливі випадки показані вище).
5. Знаючи початкові параметри у 0 і φ0, по універсальних формул визначити цікавлять нас переміщення.

При використанні універсальних формул необхідно виконувати наступні вимоги:

а) В універсальні формули включати тільки ті зовнішні сили, які діють між початком координат (т.0) і перетином, в якому визначаються переміщення. Слід пам'ятати, що опорні реакції - теж зовнішні сили.

б) Кожна зовнішня сила (М i, Fi, qi) вводиться зі знаком згинального моменту, який ця сила викликає в перерізі, де визначається переміщення.