Лекція № 9. Перетин поверхні багатогранника проецирующей площиною


  • 1. Загальні поняття
  • 2. Призма
  • 3. Піраміда
  • 4. Косі перетину
  • Лекція № 9. Перетин поверхні багатогранника проецирующей площиною

    1. Загальні поняття

    Якщо перетнути поверхню багатогранника площиною, то в перерізі виходить багатокутник. Перше завдання полягає в побудові проекцій багатокутника, отриманого в перерізі, потім слід визначити натуральний вигляд цього багатокутника. Також необхідно побудувати розгортку поверхні даного багатогранника, причому потрібно вказати на його поверхні слід січної площини.

    Побудова проекцій фігури перерізу можна виконати двояко.

    1. Можна знайти точки зустрічі ребер багатогранника з січною площиною, після чого з'єднати проекції знайдених точок. В результаті цього вийдуть проекції шуканого багатокутника. У цьому випадку метою завдання є визначення точок зустрічі декількох прямих з даної площиною.

    2. Побудова можна виконати по-іншому: послідовно знайти лінії перетину кожної з граней багатогранника з січною площиною, тоді доведеться кілька разів будувати лінію перетину двох площин.

    Щоб визначити істинні розміри багатокутника, який виходить в січної площини, зазвичай надходять у такий спосіб: поєднують цю площину з площиною проекцій.

    Плоска фігура, яка виходить, якщо всі грані викреслити в справжню величину на площині креслення в тому порядку, в якому вони слідують на самому многограннике, називається розгорткою (або викрійкою) поверхні даного багатогранника. Для ясності можна сказати, що поверхня багатогранника як би розрізається уздовж деяких його ребер так, щоб потім цю поверхню можна було поєднати з площиною креслення. У тому випадку якщо поверхня багатогранника пересічена деякої площиною, тоді для побудови розгортки на кожній грані слід зобразити слід січної площини.

    Побудова розгортки бічної поверхні багатогранника здійснюється в два основних етапи:

    1) визначенням істинних розмірів всіх елементів кожної її межі. Саме завдяки їм можна побудувати зображення цієї поверхні в натуральну величину;

    2) послідовне побудова кожної грані в натуральну величину виходячи з знайдених раніше елементів.

    У разі якщо дана грань багатогранника є трикутник, тоді, щоб побудувати її в натуральну величину, потрібно просто знати розміри всіх її сторін. Якщо грань багатогранника є чотирикутник, то, крім чотирьох його сторін, слід знати ще якої-небудь її елемент (або один з кутів, або діагональ і т. П.). У деяких випадках допоміжними лініями можуть бути сліди січної площини.

    2. Призма

    На малюнку 95 показано перетин поверхні прямої призми фронтально-проектує площиною Р. Насамперед потрібно розглянути проекції перетину. Ребра призми перпендикулярні горизонтальній площині і проектуються на ній точками. Тут горизонтальна проекція а точки А є перетином ребра KK 1 з площиною Р, вона збігається з проекцією k. Фронтальна проекція а розташовується на сліді Р v. Отже, горизонтальна проекція a? B? C? шуканого перетину збігається з проекцією підстави klm. При цьому фронтальна проекція аbс розташована на сліді Р v. Якщо розташовувати двома проекціями і перетинами, то неважко побудувати третю.

    Для визначення справжніх розмірів трикутника ABC потрібно поєднати площину Р з горизонтальною площиною шляхом обертання близько горизонтального сліду P h.

    Щоб побудувати розгортку, треба мати всі необхідні елементи на епюрі, підстава проектується без спотворення на горизонтальну площину, а все ребра з точками перетину - на фронтальну площину.

    Починати побудову розгортки слід з ребра КК 1, помістивши його десь в стороні. На малюнку 96 показані допоміжні прямі, проведені перпендикулярно ребру КК 1. Після цього від точки К вправо відкладається відрізок KL, рівний стороні підстави k l. Потім проводять друге ребро LL 1, завершуючи побудову натурального зображення межі KK 1 LL 1. Далі праворуч від цієї межі будують натуральне зображення наступної межі LL 1 M 1 M і продовжують до тих пір, поки не буде повністю побудована розгортка бічної поверхні призми.

    Після цих дій на всіх ребрах відзначають точки А, В і С, відкладаючи на розгортці KA = k? A ?, LB = l? B? і МС = m? з? .


    Відзначимо, що на розгортці відрізки АВ, ВС і СА мають натуральні размераи сторін трикутника перетину, який показаний на кресленні зліва в натуральну величину (трикутник ABC). У зв'язку з цим дані відрізки повинні бути рівні відповідним сторонам трикутника. Перевіркою точності побудови є рівність цих відрізків на кресленні.

    Тепер залишилося тільки прилаштувати до розгортці бічній поверхні призми верхнє і нижнє підстави, т. Е. Два трикутника MKL і M 1 K 1 L 1. При цьому кожен з трикутників будується за трьома сторонами.


    На малюнку 97 показано перетин поверхні призми горизонтально-проецирующей площиною Q. Тут перетином є прямокутник АА 1 В 1 В, одна пара сторін якого АВ і A 1 B 1 проектується без спотворення на горизонтальну площину, а друга пара AA 1 і ВВ 1 - на фронтальну і профільну площини.

    Нехай натуральні розміри обох сторін прямокутника АА 1 В 1 В дані, але в різних місцях. Для побудови прямокутника в натуральну величину потрібно через а і b провести прямі перпендикулярно q, потім намітити на них де-небудь положення точок А і В (AB? AA). Після цього відкладаються від точок А до В на допоміжних лініях натуральні розміри сторін АА 1 і ВВ 1, при цьому їх беруть з фронтальної проекції.

    Будуючи натуральну величину перерізу, ми як би поєднали прямокутник з горизонтальною площиною, обертаючи його близько горизонтального сліду АВ (АВ = аb). Після чого для зручності трохи відсунули це зображення від лінії q.

    Побудова натуральний вигляд прямокутника

    перетину вельми зручно робити зліва від фронтальної проекції призми (прямокутник ABB 1 A 1).

    3. Піраміда

    На малюнку 98 показано перетин поверхні піраміди фронтально-проектує площиною Р. На малюнку 98б зображена фронтальна проекція а точки зустрічі ребра KS з площиною P. Вона визначається перетином сліду P v з фронтальною проекцією ребра k? S? (Рис. 98 а). Якщо фронтальна проекція а? точки А дана, то легко знайти її горизонтальну проекцію а.


    На малюнку 98, б показані натуральні розміри ABC перетину ABC, які були визначені поєднанням його з горизонтальною площиною шляхом обертання близько сліду P h. Окремо на цьому малюнку показані елементи, які необхідні для побудови розгортки. Натуральні розміри ребер піраміди можна знайти шляхом обертання їх близько осі, що проходить через вершину S перпендикулярно горизонтальній площині, як показано на малюнку 98 в. На малюнку 98 г показана розгортка, а зображення кожного з трикутників, що входять до складу розгортки, можна побудувати за трьома його сторонам - ребрах.


    На малюнку 99 показано перетин поверхні піраміди горизонтально-проецирующей площиною Q. Трикутник ABC є перетином поверхні піраміди площиною Q, підстава АС якого проектується на горизонтальну площину без спотворення, а висота BD - на фронтальну і профільну площини.

    Щоб побудувати натуральне зображення перетину, потрібно провести через проекції а, з і d допоміжні прямі, які перпендикулярні Q h. Після цього слід провести пряму АС паралельно Q h (AC? АА), точка D буде лежати на АС. Потім необхідно відкласти від точки D на прямій Dd висоту трикутника (DB = d? B?). Це визначить положення вершини В. Тепер трикутник ABC є натуральний вигляд перерізу поверхні цієї піраміди площиною Q. Будувати натуральний вигляд трикутника перетину вельми зручно зліва від фронтальної проекції (трикутник ABC).

    4. Косі перетину

    Під косими перетинами розуміють коло завдань на побудову натуральних видів перетинів розглянутого тіла проектується площиною. Для виконання косого перетину необхідно розчленувати дане тіло на елементарні геометричні тіла, наприклад призму, піраміду, циліндр, конус, куля і т. Д. Після чого слід будувати натуральний вигляд шуканого перетину, розглядаючи послідовно перетин площині з кожним з цих тіл.

    На малюнку 100 показано правильна чотиригранна піраміда з призматичним наскрізним отвором, яка пересічена фронтально-проектує площиною. Нехай потрібно побудувати натуральне зображення перетину. Вона являє собою дві рівнобедрені трапеції ABCD і EFGH.

    На плані представлені розміри сторін паралельних підстав в натуральну величину, а відстані між ними, які є висотами трапецій, - на головному вигляді. Для побудови перерізу цих даних достатньо. Побудова виконують в наступному порядку:

    1) проводять вісь симетрії перетину паралельно фронтальному сліду січної площини, переносять на неї висоти згаданих трапецій. З цією метою проводять через відповідні точки сліду січної площини прямі, які перпендикулярні цьому сліду;

    2) відкладають по обидві сторони від осі симетрії половини натуральних розмірів підстав трапеції:

    AD = ad, BC = bc і т. Д .;

    3) з'єднують побудовані точки прямими і заштриховують отримані площі перетину.

    Також натуральний вигляд перерізу можна спостерігати праворуч від горизонтальної проекції піраміди (A 1 B 1 C 1 D 1 і E 1 F 1 H 1).


    Зауважимо, що точки D, С, Н і G лежать на одній прямій, так само як і точки F, Е, В і А на іншій прямій. Ці прямі є перетинами передньої і задньої граней, кожна з яких розривається отвором на дві частини (це важливо при побудові натуральний вигляд перерізу).


    На малюнку 101 показано піраміда, пересічена горизонтально-проецирующей площиною. Нехай потрібно побудувати натуральний вигляд перерізу. Тут пряму AF можна вважати підставою багатокутника перерізу, тоді побудуємо це підстава і від нього будемо відкладати висоти інших вершин перетину. Слід помістити відрізок AF паралельно af, проводячи прямі АА і fF перпендикулярно af (AF = af). Потім через горизонтальні проекції (b, с, d і е) інших вершин багатокутника проводять прямі, перпендикулярні af. Потім відкладають на них по іншу сторону від AF висоти перерахованих точок, грунтуючись на розмірах головного виду. При цьому відрізок DE повинен бути паралельним AF.

    Уявімо, виконуючи це побудова, що ми як би поєднали перетин з горизонтальною площиною проекцій, обертаючи його близько горизонтального сліду af січної площини, після чого трохи відсунули його в напрямку, перпендикулярному сліду af.

    Також натуральний вигляд побудований праворуч від фронтальної проекції (A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1).

    При цьому точки В, С, Е і F лежать на одній прямій.



    B?
    C?
    A ?
    B?
    З?
    S?
    B?

    Новости

    Цена гидроизоляции крыши
    Во-1-х, этот комплекс действий защищает сооружение от разрушительного воздействия осадков. Без гидроизоляции в строении возникают протечки (а гидроизолирующее покрытие держит воду даже при резких перепадах

    Гидроизоляция пола в ванной
    Процесс выполнения гидроизоляции Гидроизоляционный раствор следует наносить в 2 этапа: первый слой раствора следует нанести на пол, а через 4-6 часов второй . Как правило, выполняется она специальными

    Гидроизоляционная пленка для кровли
    Основные разновидности пленочных гидроизоляционных материалов Для защиты крыши от негативного воздействия влаги, могут применяться следующие виды материалов: Именно мембраны считаются оптимальным выбором

    Гидроизоляция пола перед стяжкой
    В повседневной жизни рано или поздно все сталкиваются с «несанкционированным» проникновением воды из или в помещения проживания. Мы топим, нас топят, или в своем доме на первом этаже появляются непредусмотренные

    Гидроизоляционная пленка: Что это, какие бывают пленки, инструкция по монтажу, цены за рулон
    Гидроизоляционная пленка – это материал, который используется для защиты здания от влаги, конденсата и атмосферных осадков. Позволяет существенно продлить эксплуатацию не только здания, но и его основных

    Организация кровельного пирога - пароизоляция, утепление, гидроизоляция кровли
    Принципиально увидеть, что, беря во внимание подобные тенденции, строй компании сразу строят новые дома с мансардой жилого плана, но и обладатели уже построенных особняков также хотят переоборудовать

    Обмазочная гидроизоляция для бетона: виды, требование и применение
    Задачей строительства является не просто построить здание, но и защитить поверхности от проникновения воды. Фундамент, подвал, полы, крыша всегда соприкасаются с водой. Защиты требуют не только места,

    Пароизоляция и гидроизоляция: отличие и назначение
    Каждому человеку хочется, чтобы условия проживания в доме были одинаково комфортны как в летний зной, так и в зимнюю стужу. Но что нужно, чтобы создать в доме благоприятную атмосферу? Конечно же, в условиях

    Мастика гидроизоляционная: история появления, многообразие видов
    Нет необходимости говорить, что гидроизоляция продлевает срок эксплуатации конструктивных элементов зданий и сооружений. Видов защиты от проникновения влаги большое количество. Нас же в этой статье

    Гидроизоляция стен от фундамента: материалы, правила
    Так как фундамент является основой всего дома, то особое внимание необходимо уделить его гидроизоляции. Она будет надежно защищать строение от попадания внутрь как грунтовых вод, так и поверхностных вод