Золота пропорція. НОВИЙ ПОГЛЯД

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

<

>

Золоту пропорцію в школі не "проходять". І коли один з авторів пропонованої нижче статті (кандидат технічних наук В. Белянин) розповів про золотий переріз абітурієнтці, що зібралася вступати в МАДИ, в процесі підготовки до іспитів в інститут, завдання несподівано викликала жвавий інтерес і масу питань, на які "з ходу" не було відповідей. Вирішили шукати їх разом, і тоді виявилися тонкощі в золотий пропорції, вислизають від дослідників раніше. Спільна творчість призвело до роботи, яка зайвий раз підтверджує творчі можливості молоді і вселяє надію, що мова науки загублений не буде.

Візерунки математики, як і візерунки художника або візерунки поета, повинні бути гарні; ідеї, як і фарби або слова, повинні поєднуватися гармонійно. Краса є першим критерієм: в світі немає місця для потворної математики.
Дж. Х. Харді

Краса математичної задачі служить одним з найважливіших стимулів її нескінченного розвитку і причиною породження численних додатків. Часом проходять десятки, сотні, а іноді і тисячі років, але люди знову і знову знаходять несподівані повороти в добре відомому рішенні і його інтерпретації. Однією з таких довгоживучих і захоплюючих завдань виявилася задача про золотий переріз (ЗС), що відображає елементи витонченості та гармонії оточуючого нас світу. Не зайве нагадати, до речі, що, хоча сама пропорція була відома ще Евклиду, термін "золотий перетин" ввів Леонардо да Вінчі (див. "Наука і життя" №1, 2003 р ).

Геометрично золотий перетин має на увазі поділ відрізка на дві нерівні частини так, щоб більша частина була середнім пропорційним між усім відрізком і меншою частиною (рис. 1).

Алгебраїчно це виражається наступним чином:

, Або, , Або,

або або   (1) (1)

Дослідження цієї пропорції ще до її вирішення показує, що між відрізками a і b існують принаймні два дивовижних співвідношення. Наприклад, з пропорції (1) легко виходить вираз,

яке встановлює пропорцію між відрізками a, b, їх різницею і сумою. Тому про золотий переріз можна сказати інакше: два відрізки знаходяться в гармонійному співвідношенні, якщо їх різниця відноситься до меншого відрізку так, як більший відрізок відноситься до їх суми.

Друге співвідношення виходить, якщо вихідний відрізок прийняти рівним одиниці: a + b = 1, що дуже часто використовується в математиці. В такому випадку

a 2 - b 2 = ab = ab.

З цих результатів слідують два дивовижних співвідношення між відрізками а і b:

a 2 - b 2 = ab = ab, (2)

які будуть використані в подальшому.

Перейдемо тепер до вирішення пропорції (1). На практиці використовують дві можливості.

1. Позначимо відношення a / b через. Тоді отримаємо рівняння

x 2 - x - 1 = 0, (3)

яке має ірраціональні корені

яке має ірраціональні корені

Зазвичай розглядають тільки позитивний корінь x 1, що дає просте і наочне поділ відрізка в заданій пропорції. Дійсно, якщо прийняти цілий відрізок за одиницю, то, використовуючи значення цього кореня x 1, отримаємо a ≈ 0,618, b ≈ 0,382.

Саме позитивний корінь x 1 рівняння (3) найбільш часто називають золотою пропорцією або пропорцією золотого перетину. Відповідне геометричне розподіл відрізка називають золотим перетином (точка С на рис. 1).

Для зручності подальшого викладу позначимо x 1 = D. Загальновизнаного позначення для золотого перетину досі немає. Обумовлено це, мабуть, тим, що під ним розуміють іноді і інше число, про що буде сказано нижче.

Що залишається зазвичай в стороні негативний корінь x 2 призводить до менш наочному поділу відрізка на дві нерівні частини. Справа в тому, що він дає ділить точку С, яка лежить поза відрізка (так зване зовнішнє розподіл). Дійсно, якщо a + b = 1, то, використовуючи корінь x 2, отримаємо a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Тому відрізок a необхідно відкладати в негативному напрямку (рис. 2).

2. Другий варіант вирішення пропорції (1) принципово не відрізняється від першого. Будемо вважати невідомим ставлення b / a і позначимо його через y. Тоді отримаємо рівняння

y 2 + y-1 = 0, (4)

яке має ірраціональні корені

яке має ірраціональні корені

Якщо a + b = 1, то, використовуючи корінь y 1, отримаємо a = y 1 ≈ 0,618, b ≈ 0,382. Для кореня y 2 отримаємо a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Геометричне розподіл відрізка в пропорції золотого перетину з використанням коренів y 1 і y 2 повністю ідентично попередньому варіанту і відповідає рис. 1 і 2.

Позитивний корінь y 1 безпосередньо дає шукане рішення задачі, і його також називають золотою пропорцією.

Для зручності позначимо значення кореня y 1 = d.

Таким чином, в літературі золоту пропорцію математично виражають числом D 1,618 або числом d 0,618, між якими існують дві дивовижні зв'язку:

Dd = 1 і Dd = 1. (5)

Доведено, що більше ніхто пари чисел, що володіють цими властивостями, не існує.

Використовуючи обидва позначення для золотої пропорції, запишемо рішення рівнянь (3) і (4) в симетричному вигляді: = D, = - d, = d, = - D.

Незвичайні властивості золотого перетину досить докладно описані в літературі [1-4]. Вони настільки дивні, що підкорювали розум багатьох видатних мислителів і створили навколо себе ореол таємничості.

Золота пропорція зустрічається в конфігурації рослин і мінералів, будову частин Всесвіту, музичному звукоряді. Вона відображає глобальні принципи природи, пронизуючи всі рівні організації живих і неживих об'єктів. Її використовують в архітектурі, скульптурі, живопису, науці, обчислювальної техніки, при проектуванні предметів побуту. Творіння, що несуть в собі конфігурацію золотого перетину, представляються пропорційними і узгодженими, завжди приємні погляду, та й сам математичну мову золотий пропорції не менше витончений і елегантний.

Крім рівності (5) зі співвідношення (2) можна виділити три цікаві співвідношення, які володіють певним досконалістю, виглядають цілком привабливо і естетично:

(6) (6)

Велич і глибину природи можна відчувати не тільки, наприклад, при спогляданні зірок або гірських вершин, а й вдивляючись в деякі дивовижні формули, дуже цінуються математиками за їх красу. До них можна віднести витончені співвідношення золотий пропорції, фантастичну формулу Ейлера e iπ = -1 (де i = √-1), формулу, визначальну знамените число Непера (підстава натуральних логарифмів): e = lim (1 + 1 / n) n = 2,718 при n → ∞, і багато інших.

Після рішення пропорції (1) її ідея здається досить простий, але, як це часто буває з багатьма на перший погляд простими завданнями, в ній приховано чимало тонкощів. Однією з таких чудових тонкощів, повз яку до сих пір проходили дослідники, є зв'язок коренів рівнянь (3) і (4) з кутами трьох чудових трикутників.

Щоб переконатися в цьому, розглянемо, яким чином одновимірний відрізок, розділений в пропорції золотого перетину, може бути легко перетворений в двовимірний образ у вигляді трикутника. Для цього, використовуючи спочатку рис. 1, відкладемо на відрізку АВ довжину відрізка a двічі - від точки А в сторону точки В і, навпаки, від точки В в сторону А. Отримаємо дві точки С 1 і С 2, що ділять відрізок АВ з різних кінців в пропорції золотого перетину (рис. 3). Вважаючи рівні відрізки АС 1 і ВС 2 радіусами, а точки А і В центрами кіл, проведемо дві дуги до їх перетину у верхній точці С. Поєднавши точки А і С, а також В і С, отримаємо трикутник АВС зі сторонами АВ = a + b = 1, АС = = ВС = a = d ≈ 0,618. Величину кутів при вершинах А і В позначимо α, при вершині С - β. Обчислимо ці кути.

По теоремі косинусів

(АВ) 2 = 2 (АС) 2 (1 - cos β).

Підставивши чисельні значення відрізків АВ і АС в цю формулу, отримаємо

(7) (7)

аналогічно отримуємо

(8) (8)

Вихід золотий пропорції на двовимірний образ дозволив зв'язати коріння рівнянь (3) і (4) з кутами трикутника АВС, який можна назвати першим трикутником золотий пропорції.

Виконаємо аналогічне побудова, використовуючи рис. 2. Якщо на продовженні відрізка АВ відкласти від точки В вправо відрізок, рівний за величиною відрізку a, і повернути навколо центрів А і В вгору обидва відрізка як радіуси до їхнього зіткнення, то отримаємо другий трикутник золотий пропорції (рис. 4). У цьому трикутник сторона АВ = a + b = 1, сторона АС = ВС = D ≈1,618, і тому за формулою теореми косинусів отримуємо

(9) (9)

Кут a при вершині С дорівнює 36о і пов'язаний із золотою пропорцією співвідношенням (8). Як і в попередньому випадку, кути цього трикутника пов'язані з корінням рівнянь (3) і (4).

Другий трикутник золотий пропорції служить основним складовим елементом правильного опуклого п'ятикутника і задає пропорції правильного зірчастого п'ятикутника (пентаграми), властивості яких детально розглянуті в книзі [3].

Зірчастий п'ятикутник - фігура симетрична, і в той же час в співвідношеннях її відрізків проявляється асиметрична золота пропорція. Подібне поєднання протилежностей завжди притягує глибоким єдністю, пізнання якого дозволяє проникнути в приховані закони природи і зрозуміти їх виняткову глибину і гармонію. Піфагорійці, підкорені злагодженістю відрізків в зірчастому п'ятикутнику, вибрали його символом свого наукового співтовариства.

З часів астронома І. Кеплера (XVII століття) іноді висловлюються різні точки зору щодо того, що має більшу фундаментальністю - теорема Піфагора або золота пропорція. Теорема Піфагора лежить у підставі математики, це один з її наріжних каменів. Золотий перетин лежить в основі гармонії і краси світобудови. На перший погляд воно нескладно для розуміння і не володіє значною грунтовністю. Проте деякі його несподівані і глибокі властивості осягаються тільки останнім часом [1], що говорить про необхідність з повагою ставитися до його прихованої тонкощі і можливої ​​універсальності. Теорема Піфагора і золота пропорція в своєму розвитку тісно переплітаються одна з одною і геометричними і алгебраїчними властивостями. Між ними немає ні прірви, ні принципових відмінностей. Вони не конкурують, у них різні призначення.

Цілком можливо, що обидві точки зору рівноправні, так як існує прямокутний трикутник, що містить в собі різноманітні особливості золотий пропорції. Іншими словами, існує геометрична фігура, достатньо повно об'єднує два математичних чудових факту - теорему Піфагора і золоту пропорцію.

Щоб побудувати такий трикутник, досить продовжити сторону ВС трикутника АВС (рис. 4) до перетину в точці Е з перпендикуляром, відновленим в точці А до сторони АВ (рис. 5).

У внутрішньому трикутник АСЕ кут φ (кут АСЕ) дорівнює 144о, а кут ψ (кути ЕАС і АЕС) дорівнює 18о. Сторона АС = РЄ = СВ = D. Використовуючи теорему Піфагора, легко отримати, що довжина катета

Використовуючи цей результат, легко приходимо до співвідношення

(10) (10)

Отже, знайдена безпосередній зв'язок кореня y 2 рівняння (4) - останнього з коренів рівнянь (3) і (4) - з кутом 144о. У зв'язку з цим трикутник АСЕ можна назвати третім трикутником золотий пропорції.

Якщо в чудовому прямокутному трикутнику АВЕ провести бісектрису кута САВ до перетину зі стороною ЕВ в точці F, то побачимо, що уздовж боку АВ розташовуються чотири кути: 36о, 72о, 108о і 144о, з якими коріння рівнянь золотий пропорції мають безпосередній зв'язок (співвідношення ( 7) - (10)). Таким чином, в представленому прямокутному трикутнику міститься вся плеяда рівносторонніх трикутників, що володіють особливостями золотого перетину. Крім того, вельми примітно те, що на гіпотенузі будь-які два відрізка, ЄС = D і СF = 1,0 знаходяться в співвідношенні золотої пропорції з = d. Кут ψ пов'язаний з корінням D і d рівнянь (3) і (4) співвідношеннями

. .

В основу представлених вище побудов рівнобедрених трикутників, кути яких пов'язані з корінням рівнянь золотий пропорції, покладені вихідний відрізок АВ і його частини a і b. Однак золотий перетин дозволяє моделювати не тільки описані вище трикутники, а й різні інші геометричні фігури, що несуть в собі елементи гармонійних відносин.

Наведемо два приклади подібних побудов. У першому - розглянемо відрізок АВ, представлений на рис. 1. Нехай точка С - центр окружності, відрізок b - радіус. Проведемо радіусом b окружність і дотичні до неї з точки А (рис. 6). З'єднаємо точки дотику E і F з точкою С. В результаті отримаємо асиметричний ромб АЕСF, в якому діагональ АС ділить його на два рівних прямокутних трикутника АСЕ і АСF.

Звернемо більш пильну увагу на один з них, наприклад на трикутник АСЕ. У цьому трикутнику кут АЕС - прямий, гіпотенуза АС = a, катет РЄ = b і катет АЕ = √ ab ≈ 0,486, що випливає з співвідношення (2). Отже, катет АЕ є середнім геометричним (пропорційним) між відрізками a і b, тобто висловлює геометричний центр симетрії між числами a ≈ 0,618 і b ≈ 0,382.

Знайдемо значення кутів цього трикутника:

Як і в попередніх випадках, кути δ і ε пов'язані через косинус з корінням рівнянь (3) і (4).

Зауважимо, що асиметричний ромб, подібний ромбу AECF, виходить при проведенні дотичних з точки В до кола радіуса a і c центром в точці А.

Асиметричний ромб AECF отриманий іншим шляхом в книзі [1] при аналізі формоутворення і явищ зростання в живій природі. Прямокутний трикутник АЕС названо в цій роботі "живим" трикутником, так як здатний породжувати наочні образи, які відповідають різним структурним елементам природи, і служити ключем при побудові геометричних схем початку розвитку деяких живих організмів.

Другий приклад пов'язаний з першим і третім трикутниками золотого перетину. Утворити з двох рівних правах трикутників золотий пропорції ромб з внутрішніми кутами 72о і 108о. Аналогічно об'єднаємо два рівних третє трикутника золотий пропорції в ромб з внутрішніми кутами 36о і 144о. Якщо сторони цих ромбів рівні між собою, то ними можна заповнити нескінченну площину без пустот і перекриттів. Відповідний алгоритм заповнення площини розробив в кінці 70-х років ХХ століття фізик-теоретик з Оксфордського університету Р. Пенроуз. Причому з'ясувалося, що в получающейся мозаїці неможливо виділити елементарний ву осередок з цілим числом ромбів кожного виду, трансляція якої дозволяла б отримати всю мозаїку. Та найкращим виявилося те, що в нескінченній мозаїці Пенроуза відношення числа "вузьких" ромбів до числа "широких" точно дорівнює значенню золотий пропорції d = 0,61803 ...!

У цьому прикладі дивним чином поєдналися всі коріння золотого перетину, виражені через кути, з одним з випадків нетривіального заповнення нескінченної площини двома елементарними фігурами - ромбами.

На закінчення відзначимо, що наведені вище різноманітні приклади зв'язку коренів рівнянь золотий пропорції з кутами трикутників ілюструють той факт, що золота пропорція більш ємна завдання, ніж це уявлялося раніше. Якщо раніше сферою докладання золотий пропорції вважалися в кінцевому підсумку співвідношення відрізків і різні послідовності, пов'язані з чисельними значеннями її коренів (числа Фібоначчі), то тепер виявляється, що золота пропорція може генерувати різноманітні геометричні об'єкти, а коріння рівнянь мають явне тригонометрическое вираз.

Автори усвідомлюють, що висловлена ​​вище точка зору щодо витонченості математичних співвідношень, пов'язаних із золотою пропорцією, відображає особисті естетичні переживання. У сучасній філософській літературі поняття естетики та краси трактуються досить широко і використовуються швидше на інтуїтивному рівні. Ці поняття віднесені головним чином до мистецтва. Зміст наукової творчості в естетичному плані в літературі практично не розглядається. У першому наближенні до естетичними параметрами наукових досліджень можна віднести їх порівняльну простоту, властиву їм симетрію і здатність породжувати наочні образи. Всім цим естетичними параметрами відповідає завдання, що отримала назву "золота пропорція". В цілому ж проблеми естетики в науці далекі від свого вирішення, хоча і становлять великий інтерес.

Інтуїтивно відчувається, що золота пропорція все ще приховує свої таємниці. Деякі з них, цілком можливо, лежать на поверхні, чекаючи незвичайного погляду своїх нових дослідників. Знання властивостей золотої пропорції може служити творчим людям хорошим фундаментом, надавати їм впевненість і в науці і в житті.

ЛІТЕРАТУРА

1. Шевельов І. Ш., Марутаев І. А., Шмельов І. П. Золотий перетин: Три погляди на природу гармонії. - М .: Стройиздат, 1990. - 343 с.

2. Стахов А. П. Коди золотої пропорції. - М .: Радио и связь, 1984. - 152 с.

3. Васютинський Н. А. Золота пропорція. - М .: Молода гвардія, 1990. - 238 с.

4. Коробко В. І. Золота пропорція: Деякі філософські аспекти гармонії. - М. - Орел: 2000. - 204 с.

5. Урманцев Ю. А. Золотий перетин // Природа, 1968, № 11.

6. Попков В. В., Шипіцин Е. В. Золотий перетин в циклі Карно // УФН, 2000., т. 170, № 11.

7. Константинов І. Фантазії з додекаедрів // Наука і життя, 2001 № 2.

8. Шевельов І. Ш. Геометрична гармонія // Наука і життя, 1965, № 8.

9. Гарднер М. Від мозаїк Пенроуза до надійних шифрів. - М.: Мир, 1993.

Новости

Цена гидроизоляции крыши
Во-1-х, этот комплекс действий защищает сооружение от разрушительного воздействия осадков. Без гидроизоляции в строении возникают протечки (а гидроизолирующее покрытие держит воду даже при резких перепадах

Гидроизоляция пола в ванной
Процесс выполнения гидроизоляции Гидроизоляционный раствор следует наносить в 2 этапа: первый слой раствора следует нанести на пол, а через 4-6 часов второй . Как правило, выполняется она специальными

Гидроизоляционная пленка для кровли
Основные разновидности пленочных гидроизоляционных материалов Для защиты крыши от негативного воздействия влаги, могут применяться следующие виды материалов: Именно мембраны считаются оптимальным выбором

Гидроизоляция пола перед стяжкой
В повседневной жизни рано или поздно все сталкиваются с «несанкционированным» проникновением воды из или в помещения проживания. Мы топим, нас топят, или в своем доме на первом этаже появляются непредусмотренные

Гидроизоляционная пленка: Что это, какие бывают пленки, инструкция по монтажу, цены за рулон
Гидроизоляционная пленка – это материал, который используется для защиты здания от влаги, конденсата и атмосферных осадков. Позволяет существенно продлить эксплуатацию не только здания, но и его основных

Организация кровельного пирога - пароизоляция, утепление, гидроизоляция кровли
Принципиально увидеть, что, беря во внимание подобные тенденции, строй компании сразу строят новые дома с мансардой жилого плана, но и обладатели уже построенных особняков также хотят переоборудовать

Обмазочная гидроизоляция для бетона: виды, требование и применение
Задачей строительства является не просто построить здание, но и защитить поверхности от проникновения воды. Фундамент, подвал, полы, крыша всегда соприкасаются с водой. Защиты требуют не только места,

Пароизоляция и гидроизоляция: отличие и назначение
Каждому человеку хочется, чтобы условия проживания в доме были одинаково комфортны как в летний зной, так и в зимнюю стужу. Но что нужно, чтобы создать в доме благоприятную атмосферу? Конечно же, в условиях

Мастика гидроизоляционная: история появления, многообразие видов
Нет необходимости говорить, что гидроизоляция продлевает срок эксплуатации конструктивных элементов зданий и сооружений. Видов защиты от проникновения влаги большое количество. Нас же в этой статье

Гидроизоляция стен от фундамента: материалы, правила
Так как фундамент является основой всего дома, то особое внимание необходимо уделить его гидроизоляции. Она будет надежно защищать строение от попадания внутрь как грунтовых вод, так и поверхностных вод